关于《比的认识》这节课，同一个内容，不同的教师会演绎出不同的教学路径，这种现象传递着这样的命题：上课是一种表达。

“是什么”VS“为什么”。关于“比”，我们思考它的相关要点，可以发现与学生已掌握的旧知识联系紧密。它的意义与分数、除法相关，它的性质相当于分数的基本性质、商不变规律，它的相关运算也不复杂。掌握了分数、除法的那些知识，再来学习“比”无难可言。不过，这并不表示没有任何问题。我们询问学生：还有什么疑惑？多数学生都会问：已经有了分数、除法，为什么还要有“比”呢？

学习一个新知识，我们关注这个知识是什么，如何运用，往往不去问“为什么”要创造这个概念。而“为什么”恰恰揭示数学知识体系中这个知识存在的合理性和必要性——在事物本源的地方去深思，才能看到思维的唯美风景。思量起来，两个事物的比较有时可以拿人数、时间、重量的多少直接比。这时，两量间的相差关系、倍数关系都可以说明问题。而有些比较，必须既要比a量又要比b量。例如，要比较两个阅览室的拥挤程度，既要比人数多少又要比面积大小，才能判断拥挤程度。又如，谁跑得快，既要比路程长短又要比所用时间多少，才能比出速度快慢。再如，出勤率，既要比出勤了多少人，又要比总人数多少，才能说明出勤好坏……在这样的情境中，我们只有用相关两个量的相除关系才能进行比较。

“独立学”VS“相机教”。课堂上，学与教的双边关系如何把握是个久远的话题。在当下，我们都在尝试着“教”尽可能地退出课堂，让学成为课堂的主体。不过，历史上人类认识的提升哪怕是微微的一小步，所花费的时间也是以“年”为单位的，这也决定了在课堂情境中不可能有绝对独立的“学”。教学改革的历史也表明，课堂上“教师中心”和“儿童中心”都不是合适的处理方式。因此课程标准明确指出：“有效的教学活动是学生的学与教师的教统一”。课堂情境中，我们要让学生有独立思考的时间，但也不能片面地限制教。就学习“比”来说，它的意义及其他的相关要点，学生是可以运用旧知获得新知意义的。而为什么要学习“比”，可以预见学生是不可能悟到的。为此，教完全可以大方出手。这也就是我在教学这节课时第一部分教师引思多一些，第二部分学生自主思考与交流更多一些的缘故。

“显性的知识”VS“隐性的思想”。从显性知识到隐性知识，称为内化：是一个将显性知识隐性化的过程，将学习与实践紧密结合起来，通过群化、外化和融合获得的经验，以思维模式和技术诀窍共享等形式内化为个人的隐性知识。从而使外在的显性知识成为个人知识的一部分基础，通过从做中学，将一些明晰的知识转化为个人的经验。而知识创新的过程就是显性知识与隐性知识相互作用螺旋上升的过程。获取隐性知识的关键是通过观察、模仿和实践，而不是语言。经验共享，探讨、交流是这个转化过程的关键，而它又是通过组织成员之间的共同活动来实现的。

知识是有形可感的，课堂上我们都会首先看到知识。不过，知识的学习要有利于数学思考、问题解决、情感态度三个方面目标的实现。为此，我们不能把知识看作静止的事实性的绝对真理，而应该把知识看作动态的过程性的经验结晶。也就是说：知识在，思想方法、情感态度也在，不过隐性而已，需要我们到教学中去挖掘。

跳出“比”本身，用更宽广的视野来看“比”，才能把握其更深远的价值。著名数学教育家波利亚说：“解决数学问题，我们必须一再地变化它，重新叙述它、变换它，直至终于成功地找到某些有用的东西为止。”仔细想来，小学数学中解决问题何尝不是如此呢？比如，异分母分数加减，变换成了同分母分数才能计算。又如，第一次计算平行四边形面积，只有变换成长方形才能推导公式烦琐的计算。但无论怎么变，其中必有某个数学要素没有变。有了“比”的意义，也就多了一条进行数学变换的途径。因而，在这节课的第三部分，我预设了这样一个环节，在各种不同的数学变换中揭示其不变的数学要素，让学生的认识从无意识走向有目的，促进数学素养的提升。